Question

2．已知a＞0，a≠1且log_a3＜log_a2，若函數(shù)f（x）=log_ax在區(qū)間[a，3a]上的最大值與最小值之差為1．
（1）求a的值；
（2）若1≤x≤3，求函數(shù)y=（log_ax）²+log_a$\sqrt{x}$-2的值域．

Answer 1

分析 （1）由log_a3＜log_a2，可得a＜1，再根據(jù)log_aa-log_a3a=1，求得a的值．
（2）先求得-1≤${log}_{\frac{1}{3}}$x≤0，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得它的值域．

解答 解：（1）∵log_a3＜log_a2，∴0＜a＜1；
又∵y=log_ax在[a，3a]上為減函數(shù)，
∴l(xiāng)og_aa-log_a3a=1，
即log_a$\frac{1}{3}$=1，∴a=$\frac{1}{3}$．
（2）∵1≤x≤3，
∴-1≤${log}_{\frac{1}{3}}$x≤0，
∴y=（log_ax）²+log_a$\sqrt{x}$-2=${{（log}_{\frac{1}{3}}x）}^{2}$+$\frac{1}{2}$${log}_{\frac{1}{3}}$x-2，
令${log_{\frac{1}{3}}}x=t$，則t∈[-1，0]，
故y=t²+$\frac{1}{2}$t-2=${（t+\frac{1}{4}）}^{2}$-$\frac{33}{16}$，
其值域?yàn)閇-$\frac{33}{16}$，-$\frac{3}{2}$]．

點(diǎn)評 本題主要考查對數(shù)函數(shù)的定義域和值域，二次函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于中檔題．