Question

如圖所示，點P在圓O：x²+y²=4上，PD⊥x軸，點M在射線DP上，且滿足（λ≠0）．
（Ⅰ）當點P在圓O上運動時，求點M的軌跡C的方程，并根據λ取值說明軌跡C的形狀．
（Ⅱ）設軌跡C與x軸正半軸交于點A，與y軸正半軸交于點B，直線2x-3y=0與軌跡C交于點E、F，點G在直線AB上，滿足，求實數λ的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用和PD⊥x軸，確定M，P坐標之間的關系，代入圓方程得：，對λ討論，即可得到結論；
（Ⅱ）由題設知A（2，0），B（0，2λ），E，F關于原點對稱，可設E，F，G的坐標，利用，即可求得結論．
解答：解：（Ⅰ）設M（x，y）、P（x，y），由于和PD⊥x軸，所以，∴
代入圓方程得：--------------（2分）
當0＜λ＜1時，軌跡C表示焦點在x軸上的橢圓；
當λ=1時軌跡C就是圓O；
當λ＞1時軌跡C表示焦點是y軸上的橢圓．---------------（4分）
（Ⅱ）由題設知A（2，0），B（0，2λ），E，F關于原點對稱，所以設，，G（x，y），不妨設x₁＞0---------------（6分）
直線AB的方程為：，把點G坐標代入得y=2λ-λx
又點E在軌跡C上，則有，∴-------（8分）
∵，∴x-x₁=6（-x₁-x），∴
∵y-x₁=6（-x₁-y），∴----------（10分）
∴=（λ＞0），∴18λ²+50λ-17=0，∴---------（12分）
點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，利用向量確定坐標之間的關系是關鍵．