Question

如圖所示，點(diǎn)P在圓O：x²+y²=4上，PD⊥x軸，點(diǎn)M在射線DP上，且滿足

DM

=λ

DP

（λ≠0）．
（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)P在圓O上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡C的方程，并根據(jù)λ取值說明軌跡C的形狀．
（Ⅱ）設(shè)軌跡C與x軸正半軸交于點(diǎn)A，與y軸正半軸交于點(diǎn)B，直線2x-3y=0與軌跡C交于點(diǎn)E、F，點(diǎn)G在直線AB上，滿足

EG

=6

GF

，求實(shí)數(shù)λ的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用

DM

=λ

DP

和PD⊥x軸，確定M，P坐標(biāo)之間的關(guān)系，代入圓方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1，對(duì)λ討論，即可得到結(jié)論；
（Ⅱ）由題設(shè)知A（2，0），B（0，2λ），E，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，可設(shè)E，F(xiàn)，G的坐標(biāo)，利用

EG

=6

GF

，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)M（x，y）、P（x₀，y₀），由于

DM

=λ

DP

和PD⊥x軸，所以

x=x0 y=λy0

，∴

x0=x y0= y λ

代入圓方程得：

x2

4

+

y2

4λ2

=1--------------（2分）
當(dāng)0＜λ＜1時(shí)，軌跡C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓；
當(dāng)λ=1時(shí)軌跡C就是圓O；
當(dāng)λ＞1時(shí)軌跡C表示焦點(diǎn)是y軸上的橢圓．
（Ⅱ）由題設(shè)知A（2，0），B（0，2λ），E，F(xiàn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以設(shè)E(x1，

2

3

x1)，F(-x1，-

2

3

x1)，G（x₀，y₀），不妨設(shè)x₁＞0---------------（6分）
直線AB的方程為：

x

2

+

y

2λ

=1，把點(diǎn)G坐標(biāo)代入得y₀=2λ-λx₀
又點(diǎn)E在軌跡C上，則有

x 2 1

4

+

x 2 1

9λ2

=1，∴x1=

6λ

9λ2+4

∵

EG

=6

GF

，∴x₀-x₁=6（-x₁-x₀），∴x0=-

5

7

x1
∵y₀-

2

3

x₁=6（-

2

3

x₁-y₀），∴x1=

-42λ

10+15λ

，
∴x1=

-42λ

10+15λ

=

6λ

9λ2+4

，∴18λ²-25λ+8=0，∴λ=

1

2

或λ=

8

9

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程，考查向量知識(shí)的運(yùn)用，利用向量確定坐標(biāo)之間的關(guān)系是關(guān)鍵．