Question

14．在四面體ABCD中，已知AB=AC=3，BD=BC=4，BD⊥面ABC．則四面體ABCD的外接球的半徑為$\frac{{\sqrt{805}}}{10}$．

Answer 1

分析 利用余弦定理和正弦定理求出：△ABC的外接圓半徑r，結(jié)合球心到平面ABC的距離，可得球半徑．

解答 解：在△ABC中，∵AB=AC=3，BC=4，
∴cosA=$\frac{{3}^{2}+{3}^{2}-{4}^{2}}{2×{3}^{2}}$=$\frac{1}{9}$，
則sinA=$\frac{4\sqrt{5}}{9}$，
由正弦定理得：△ABC的外接圓半徑r滿足：2r=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{4}{\frac{4\sqrt{5}}{9}}$=$\frac{9}{\sqrt{5}}$，
則r=$\frac{9}{2\sqrt{5}}$，
又由BD⊥面ABC，BD=4，
故球心到面ABC的距離d=2，
故四面體ABCD的外接球的半徑R=$\sqrt{ksfecxs^{2}+{r}^{2}}$=$\frac{{\sqrt{805}}}{10}$，
故答案為：$\frac{{\sqrt{805}}}{10}$

點(diǎn)評 本題考查三棱錐的外接球半徑，考查學(xué)生的計(jì)算能力和空間想像能力，難度中檔．