Question

設(shè)F₁、F₂分別是橢圓

x2

16

+

y2

4

=1的左、右焦點．
（1）若P是該橢圓上的一個動點，求

PF1

•

PF2

的最大值與最小值；
（2）設(shè)過定點M（0，4）的直線l與橢圓交于不同的兩點A、B，且∠AOB為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,平面向量數(shù)量積的運算,直線的斜率

專題：向量與圓錐曲線

分析：（1）由橢圓的方程求出焦點坐標，設(shè)出P點坐標，得到

PF1

，

PF2

的坐標，求其數(shù)量積后結(jié)合余弦函數(shù)的值域得答案；
（2）設(shè)出直線l的方程，和橢圓方程聯(lián)立后化為關(guān)于x的一元二次方程，由判別式大于0求得k的初步范圍，由∠AOB為銳角得到x₁x₂+y₁y₂＞0，代入根與系數(shù)關(guān)系關(guān)系后求得k的范圍，最后取交集得答案．

解答： 解：（1）由橢圓

x2

16

+

y2

4

=1，得
F1(2

3

，0)，F2(-2

3

，0)，
設(shè)P（4cosα，2sinα），則

PF1

=(2

3

-4cosα，-2sinα)，

PF2

=(-2

3

-4cosα，-2sinα)，
∴

PF1

•

PF2

=16cos2α-12+4sin2α=12cos2α-8．
∴當cosα=0，即P為（0，±2）時，

PF1

•

PF2

取最小值-8；
當cosα=1，即P為（4，0）時，

PF1

•

PF2

取最大值4．
（2）由已知知直線l的斜率存在，可設(shè)l：y=kx+4，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
代入

x2

16

+

y2

4

=1得，（1+4k²）x²+32kx+48=0．
∴△=（32k）²-4（1+4k²）×48=256k²-195＞0，解得k＜-

3

2

或k＞

3

2

．
由根與系數(shù)關(guān)系得，x1+x2=-

32k

1+4k2

，x1x2=

48

1+k2

y1y2=(kx1+4)(kx2+4)=k2x1x2+4k(x1+x2)+16=

16-16k2

1+4k2

，
∵∠AOB為銳角，
∴x₁x₂+y₁y₂＞0，整理得：k²＜4，即-2＜k＜2．
∴所求k的取值范圍為：(-2，-

3

2

)∪(

3

2

，2)．

點評：本題考查了平面向量的數(shù)量積運算，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問題，常采用把直線和圓錐曲線聯(lián)立，利用根與系數(shù)關(guān)系解題，是壓軸題．