Question

【題目】已知直線，且與坐標(biāo)軸形成的三角形面積為.求：

（1）求證：不論為何實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn)P；

（2）分別求和時(shí)，所對(duì)應(yīng)的直線條數(shù)；

（3）針對(duì)的不同取值，討論集合直線經(jīng)過P，且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】（1）定點(diǎn)，見解析；（2）時(shí)，2條直線，時(shí)，4條直線；（3）①時(shí)，2條直線； ②時(shí)，3條直線； ③時(shí)，4條直線.

【解析】

（1）直線方程化為，令求得直線所過的定點(diǎn)；

（2）由題意知直線的斜率存在且不為0，設(shè)出直線方程，求出直線與軸的交點(diǎn)，計(jì)算對(duì)應(yīng)三角形的面積，由此求得直線條數(shù)；

（3）由題意得，討論和時(shí)方程對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)根，從而求出對(duì)應(yīng)直線的條數(shù)，即可得出集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中元素的個(gè)數(shù)．

（1）直線可化為，

令，解得，

∴不論為何實(shí)數(shù)，直線過定點(diǎn).

（2）由題意知，直線的斜率存在，且，

設(shè)直線方程為，則直線與軸的交點(diǎn)為，與軸的交點(diǎn)為；

∴的面積為；

令，得，時(shí)，方程化為，

解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；

時(shí)，方程化為，，方程無實(shí)數(shù)根，即無直線；

綜上知，時(shí)有兩條直線；

令，得，時(shí)，方程化為，

解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；

時(shí)，方程化為，解得，有兩個(gè)負(fù)根，即有兩條直線；

綜上知，時(shí)有四條直線；

（3）由題意得，，時(shí)，方程化為，

解得，有兩個(gè)正根，即有兩條直線；

時(shí)，方程化為，， 時(shí)，

，方程無實(shí)數(shù)根，此時(shí)無直線；

時(shí)，，方程有一負(fù)根，此時(shí)有一條直線；

時(shí)，，解得，方程有兩負(fù)根，即有兩條直線；

綜上知，時(shí)有兩條直線；時(shí)有三條直線，時(shí)有4條直線；

所以時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有2個(gè)；

時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有3個(gè)；

時(shí)，集合直線經(jīng)過P且與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為中的元素有4個(gè)．