Question

【題目】已知橢圓：的一個焦點為，點在上.

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線：與橢圓相交于，兩點，問軸上是否存在點，使得是以為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

先求出c的值，再根據(jù)，又，即可得到橢圓的方程;假設(shè)y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，設(shè)，，線段AB的中點為，根據(jù)韋達(dá)定理求出點N的坐標(biāo)，再根據(jù)，，即可求出m的值，可得點M的坐標(biāo)

由題意可得，點在C上，

，

又，

解得，，

橢圓C的方程為，

假設(shè)y軸上存在點，是以M為直角頂點的等腰直角三角形，

設(shè)，，線段AB的中點為，

由，消去y可得，

，解得，

，，

，，

，

依題意有，，

由，可得，可得，

由可得，

，，

代入上式化簡可得，

則，

解得，

當(dāng)時，點滿足題意，當(dāng)時，點滿足題意