Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)與定點(diǎn)的距離和它到直線的距離之比是常數(shù),記的軌跡為曲線.

（I）求曲線的方程；

（II）設(shè)直線與曲線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為,試問：當(dāng)變化時(shí)，直線與軸是否交于一個(gè)定點(diǎn)？若是，請(qǐng)寫出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并證明你的結(jié)論；若不是，請(qǐng)說明理由．

 

Answer 1

【答案】

（I）；（II）對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)．

【解析】

試題分析：（I）找出題中的相等關(guān)系，列出，化簡(jiǎn)即得曲線的方程；（II）將直線方程代入曲線方程，消去得，記，則，且.特別地，令，則.此時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為．若直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．再證明對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)，可利用直線的兩點(diǎn)式方程結(jié)合分析法．

試題解析：（I）設(shè)是點(diǎn)到直線的距離,根據(jù)題意,點(diǎn)的軌跡就是集合

       

由此得              

將上式兩邊平方,并化簡(jiǎn)得      

即，所以曲線的方程為  

（II）由得，即.  

記，

則，且.    

特別地，令，則.

此時(shí)，直線與軸的交點(diǎn)為．         

若直線與軸交于一個(gè)定點(diǎn)，則定點(diǎn)只能為．

以下證明對(duì)于任意的，直線與軸交于定點(diǎn)．

事實(shí)上，經(jīng)過點(diǎn)的直線方程為.

令，得只需證， 

即證，即證.    

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2013092623522294049135/SYS201309262353311656635842_DA.files/image041.png">，   

所以成立．

這說明，當(dāng)變化時(shí)，直線與軸交于定點(diǎn)．           …

考點(diǎn)：1、曲線方程求法；2、直線與圓錐曲線位置關(guān)系；3、定點(diǎn)問題．