Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

+2（m為常實(shí)數(shù)），設(shè)m＜0，若不等式f（x）≤kx，且在x∈[

1

2

，1]有解，求k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：計(jì)算題,分類討論,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：不等式f（x）≤kx在x∈[

1

2

，1]有解可轉(zhuǎn)化為x∈[

1

2

，1]時，k≥

m

x2

+

2

x

+1有解，由此得k≥（

m

x2

+

2

x

+1）_min，故問題轉(zhuǎn)化為求（

m

x2

+

2

x

+1）_min．

解答： 解：由f（x）≤kx，得x+

m

x

+2≤kx，
因?yàn)閤∈[

1

2

，1]，所以k≥

m

x2

+

2

x

+1，
令t=

1

x

，則t∈[1，2]，
所以k≥mt²+2t+1，
令g（t）=mt²+2t+1，t∈[1，2]，
于是，要使原不等式在x∈[

1

2

，1]有解，
當(dāng)且僅當(dāng)k≥g（t）_min（t∈[1，2]）． 
因?yàn)閙＜0，所以g（t）=m（t+

1

m

）²+1-

1

m

圖象開口向下，對稱軸為直線t=-

1

m

，
因?yàn)閠∈[1，2]，
故當(dāng)0＜-

1

m

≤

3

2

，即m≤-

2

3

時，g（t）_min=g（2）=4m+5；
當(dāng)-

1

m

＞

3

2

，即-

2

3

＜m＜0時，g（t）_min=g（1）=m+3．           
綜上，當(dāng)m≤-

2

3

時，k∈[4m+5，+∞）；
當(dāng)-

2

3

＜m＜0時，k∈[m+3，+∞）．

點(diǎn)評：本考查函數(shù)存在性問題，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，函數(shù)單調(diào)性的定義應(yīng)用，綜合性強(qiáng)，考查了轉(zhuǎn)化思想，分類討論的思想．