已知函數(shù)f(x)=數(shù)學(xué)公式x2-mlnx+(m-1)x,其中m∈R.
(Ⅰ)當(dāng)m=2時(shí),求函數(shù)f(x)的最小值;
(Ⅱ)當(dāng)m≤0時(shí),討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(Ⅲ)求證:當(dāng)m=-1時(shí),對(duì)任意x1,x2∈(0,+∞),且x1≠x2,有數(shù)學(xué)公式>-1.

解:(Ⅰ)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
當(dāng)m=2時(shí),f'(x)=
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.
∴f(x)在x=1時(shí)取得最小值,其最小值為f(1)=.(4分)

(Ⅱ)∵f'(x)=x-+(m-1)==,
∴(1)當(dāng)-1<m≤0時(shí),若x∈(0,-m)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-m,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).
(2)當(dāng)m≤-1時(shí),x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
x∈(1,-m)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(-m,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).(9分)

(Ⅲ)當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)f(x)=+lnx-2x.
構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x,并求導(dǎo)得
g'(x)=x+-1==
∴g'(x)>0,g(x)為增函數(shù).
∴對(duì)任意0<x1<x2,都有g(shù)(x1)<g(x2)成立,
即f(x1)+x1<f(x2)+x2
即f(x1)-f(x2)>x1-x2
又∵x1-x2<0,
>-1.(14分)
分析:(I)將m=2代入,我們易求出其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的解析式,進(jìn)而易判斷基單調(diào)性,結(jié)合其定義域和單調(diào)性,易得到函數(shù)f(x)的最小值.
(II)由f'(x)=,結(jié)合m≤0,我們可以分-1<m≤0與m≤-1兩種情況進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)法,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(III)當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)f(x)=+lnx-2x.要證明>-1,即證明f(x1)-f(x2)>x1-x2,即證f(x1)+x1<f(x2)+x2,故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x,通過討論輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x的單調(diào)性證明結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性是我們證明函數(shù)單調(diào)性最常的辦法,而利用單調(diào)性解不等式又是解不等式重要思路.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

精英家教網(wǎng)已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,A>0,ω>0,|φ|<
π
2
)的部分圖象如圖所示,則f(x)的解析式是( 。
A、f(x)=2sin(πx+
π
6
)(x∈R)
B、f(x)=2sin(2πx+
π
6
)(x∈R)
C、f(x)=2sin(πx+
π
3
)(x∈R)
D、f(x)=2sin(2πx+
π
3
)(x∈R)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•深圳一模)已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2011•上海模擬)已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:上海模擬 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2,x∈(0,+∞)
,其中0<a<b.
(1)當(dāng)a=1,b=2時(shí),求f(x)的最小值;
(2)若f(a)≥2m-1對(duì)任意0<a<b恒成立,求實(shí)數(shù)m的取值范圍;
(3)設(shè)k、c>0,當(dāng)a=k2,b=(k+c)2時(shí),記f(x)=f1(x);當(dāng)a=(k+c)2,b=(k+2c)2時(shí),記f(x)=f2(x).
求證:f1(x)+f2(x)>
4c2
k(k+c)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:深圳一模 題型:解答題

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+bx2+cx+d
,設(shè)曲線y=f(x)在與x軸交點(diǎn)處的切線為y=4x-12,f′(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù),且滿足f′(2-x)=f′(x).
(1)求f(x);
(2)設(shè)g(x)=x
f′(x)
 , m>0
,求函數(shù)g(x)在[0,m]上的最大值;
(3)設(shè)h(x)=lnf′(x),若對(duì)一切x∈[0,1],不等式h(x+1-t)<h(2x+2)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.

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