解:(Ⅰ)顯然函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,+∞).
當(dāng)m=2時(shí),f'(x)=
.
∴當(dāng)x∈(0,1)時(shí),f'(x)<0,x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0.
∴f(x)在x=1時(shí)取得最小值,其最小值為f(1)=
.(4分)
(Ⅱ)∵f'(x)=x-
+(m-1)=
=
,
∴(1)當(dāng)-1<m≤0時(shí),若x∈(0,-m)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
當(dāng)x∈(-m,1)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(1,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).
(2)當(dāng)m≤-1時(shí),x∈(0,1)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù);
x∈(1,-m)時(shí),f'(x)<0,f(x)為減函數(shù);
x∈(-m,+∞)時(shí),f'(x)>0,f(x)為增函數(shù).(9分)
(Ⅲ)當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)f(x)=
+lnx-2x.
構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x,并求導(dǎo)得
g'(x)=x+
-1=
=
.
∴g'(x)>0,g(x)為增函數(shù).
∴對(duì)任意0<x
1<x
2,都有g(shù)(x
1)<g(x
2)成立,
即f(x
1)+x
1<f(x
2)+x
2.
即f(x
1)-f(x
2)>x
1-x
2.
又∵x
1-x
2<0,
∴
>-1.(14分)
分析:(I)將m=2代入,我們易求出其導(dǎo)函數(shù)f'(x)的解析式,進(jìn)而易判斷基單調(diào)性,結(jié)合其定義域和單調(diào)性,易得到函數(shù)f(x)的最小值.
(II)由f'(x)=
,結(jié)合m≤0,我們可以分-1<m≤0與m≤-1兩種情況進(jìn)行分類討論,利用導(dǎo)數(shù)法,討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性;
(III)當(dāng)m=-1時(shí),函數(shù)f(x)=
+lnx-2x.要證明
>-1,即證明f(x
1)-f(x
2)>x
1-x
2,即證f(x
1)+x
1<f(x
2)+x
2,故我們可以構(gòu)造輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x,通過討論輔助函數(shù)g(x)=f(x)+x的單調(diào)性證明結(jié)論.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性是我們證明函數(shù)單調(diào)性最常的辦法,而利用單調(diào)性解不等式又是解不等式重要思路.