【答案】
分析:(I)求導(dǎo)函數(shù)f'(x)=3x
2-3a,利用函數(shù)f(x)=x
3-3ax+b在x=1處有極小值2,可得
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,從而可求函數(shù)f(x)的解析式;
(Ⅱ)
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,再進行分類討論:當m=0時,g(x)=-2x+3,g(x)在[0,2]上有一個零點;當m≠0時,①若方程g(x)=0在[0,2]上有2個相等實根,即函數(shù)g(x)在[0,2]上有一個零點;②若g(x)有2個零點,1個在[0,2]內(nèi),另1個在[0,2]外,從而可求m的取值范圍.
解答:解:(I)f'(x)=3x
2-3a…(1分)
依題意有
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,…(3分)
解得
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,…(4分)
此時f'(x)=3x
2-3=3(x-1)(x+1),
x∈(-1,1),f'(x)<0,x∈(1,+∞),f'(x)>0,滿足f(x)在x=1處取極小值
∴f(x)=x
3-3x+4…(5分)
(Ⅱ)f'(x)=3x
2-3
∴
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…(6分)
當m=0時,g(x)=-2x+3,
∴g(x)在[0,2]上有一個零點
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(符合),…(8分)
當m≠0時,
①若方程g(x)=0在[0,2]上有2個相等實根,即函數(shù)g(x)在[0,2]上有一個零點.
則
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,得
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…(10分)
②若g(x)有2個零點,1個在[0,2]內(nèi),另1個在[0,2]外,
則g(0)g(2)≤0,即(-m+3)(3m-1)≤0,解得
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,或m≥3…(12分)
經(jīng)檢驗m=3有2個零點,不滿足題意.
綜上:m的取值范圍是
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,或
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,或m>3…(14分)
點評:本題以函數(shù)的性質(zhì)為載體,考查函數(shù)的解析式,考查導(dǎo)數(shù)知識的運用,考查函數(shù)的零點,考查分類討論的數(shù)學(xué)思想,綜合性強.