Question

如圖，位于A處的信息中心獲悉：在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險，在原地等待營救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C處的乙船，現(xiàn)乙船朝北偏東θ的方向沿直線CB前往B處救援，求cosθ的值．

Answer 1

分析：利用余弦定理求出BC，利用正弦定理推出∠ACB的余弦值，利用cosθ=cos（∠ACB+30°）展開求出cosθ的值．

解答：解：如圖所示，在△ABC中，AB=40，AC=20，∠BAC=120°，
由余弦定理得BC²=AB²+AC²-2AB•AC•cos120°=2800，
所以BC=20

7

．
由正弦定理得sin∠ACB=

AB

BC

sin∠BAC=

21

7

．
由∠BAC=120°知∠ACB為銳角，故cos∠ACB=

2 7

7

．
故cosθ=cos（∠ACB+30°）=cos∠ACBcos30°-sin∠ACBsin30°=

21

14

．

點評：本題考查三角函數(shù)的化簡求值，余弦定理、正弦定理的應用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．