Question

12．西安市交通管理局，對市三環(huán)高速公路上車輛速度進(jìn)行監(jiān)測，某時段三環(huán)上有6輛速度超過100km/h，4輛速度低于60km/h的汽車正在行駛，交管中心從中任意監(jiān)測三輛．
（1）求交管中心至少監(jiān)測到1輛車速低于60km/h的概率；
（2）已知甲、乙兩輛速度超過100km/h，丙車速度低于60km/h，設(shè)交管中心監(jiān)測到速度超過100km/h的概率都是$\frac{3}{5}$．監(jiān)測到速度超過60km/h的概率都是$\frac{4}{5}$，且各車否監(jiān)測到相互獨(dú)立，利用X表示交管中心監(jiān)測到甲、乙、丙這三輛車輛的個數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析 （1）交管中心從中任意監(jiān)測三輛，先求出基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{3}$=120，至少監(jiān)測到1輛車速低于60km/h的對立事件是沒有監(jiān)測到車速低于60km/h的車輛，由此利用對立事件概率計算公式能求出至少監(jiān)測到1輛車速低于60km/h的概率．
（2）由已知交管中心監(jiān)測到甲、乙的概率都是$\frac{3}{5}$，交管中心監(jiān)測到丙的概率是$\frac{1}{5}$，由已知得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（1）∵某時段三環(huán)上有6輛速度超過100km/h，4輛速度低于60km/h的汽車正在行駛，
交管中心從中任意監(jiān)測三輛，基本事件總數(shù)n=${C}_{10}^{3}$=120，
至少監(jiān)測到1輛車速低于60km/h的對立事件是沒有監(jiān)測到車速低于60km/h的車輛，
∴至少監(jiān)測到1輛車速低于60km/h的概率：
p=1-$\frac{{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{5}{6}$．
（2）由已知交管中心監(jiān)測到甲、乙的概率都是$\frac{3}{5}$，交管中心監(jiān)測到丙的概率是$\frac{1}{5}$，
由已知得X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{3}{5}$）（1-$\frac{1}{5}$）=$\frac{16}{125}$，
P（X=1）=${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）•（1-\frac{1}{5}）$+${C}_{2}^{0}（1-\frac{3}{5}）^{2}×\frac{1}{5}$=$\frac{52}{125}$，
P（X=2）=${C}_{2}^{2}（\frac{3}{5}）^{2}•（1-\frac{1}{5}）$+${C}_{2}^{1}（\frac{3}{5}）（1-\frac{3}{5}）•\frac{1}{5}$=$\frac{48}{125}$，
P（X=3）=$\frac{3}{5}×\frac{3}{5}×\frac{1}{5}$=$\frac{9}{125}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{16}{125}$	$\frac{52}{125}$	$\frac{48}{125}$	$\frac{9}{125}$

EX=0×$\frac{16}{125}$+$1×\frac{52}{125}$+$2×\frac{48}{125}+3×\frac{9}{125}$=$\frac{7}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意排列組合知識的合理運(yùn)用．