Question

在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD與底面ABCD垂直，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F
（Ⅰ）證明PA∥平面EBD．
（Ⅱ）證明PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）求二面角P-DE-F的余弦值．

Answer 1

證明：（Ⅰ）建立如圖所示的空間坐標(biāo)系．
設(shè)底面正方形的邊長(zhǎng)是a．
連接AC，BD相交于G連EG
…（2分）
依題意得：A（a，0，0），P（0，0，a），E
由于底面ABCD是正方形，故G（
∴，
即PA∥EG，EG?平面EDB，PA?平面EDB
故PA∥平面EBD．…（6分）
（Ⅱ）依題意得：B（a，a，0），
，
，
由已知EF⊥PB
故，PB⊥平面EFD …（10分）
（Ⅲ）由題意知平面PDC的法向量
由（Ⅱ）知平面PDC的法向量 ∴
∴二面角P-DE-F的余弦值是．…（14分）
分析：（I）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC，DP方向分別為x，y，z軸正方向建立空間坐標(biāo)系，連接P與底面ABCD的中心G點(diǎn)，分別求出向量，的坐標(biāo)，易判斷兩個(gè)向量平行，進(jìn)而根據(jù)線面平行的判定定理得到PA∥平面EBD．
（Ⅱ）分別求出向量，的坐標(biāo)，根據(jù)兩個(gè)向量數(shù)量積等0，可得PB⊥DE，結(jié)合已知中EF⊥PB及線面垂直的判定定理可得PB⊥平面EFD．
（Ⅲ）分別求出平面PDE與平面DEF的法向量，代入向量夾角公式，即可得到二面角P-DE-F的余弦值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角的求法，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解答的關(guān)鍵是建立空間坐標(biāo)系，將線線平行，線線垂直及面面夾角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量平行、垂直及夾角問(wèn)題．