Question

3．如圖，長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，O是BD的中點(diǎn)，AA₁=2AB=2BC=4．
（1）求證：C₁O∥平面AB₁D₁
（2）點(diǎn)E在側(cè)棱AA₁上，求四棱錐E-BB₁D₁D的體積．

Answer 1

分析 （1）連結(jié)A₁C₁交B₁D₁于O₁，連結(jié)AC，AO₁，通過(guò)證明四邊形AOC₁O₁是平行四邊形得出OC₁∥AO₁，于是C₁O∥平面AB₁D₁；
（2）證明AO⊥平面BB₁D₁D，于是E到平面BB₁D₁D的距離為AO，代入體積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：連結(jié)A₁C₁交B₁D₁于O₁，連結(jié)AC，AO₁，
則AO∥C₁O₁，AO=C₁O₁，
∴四邊形AOC₁O₁是平行四邊形，
∴OC₁∥AO₁，又OC₁?平面AB₁D₁，AO₁?平面AB₁D₁，
∴C₁O∥平面AB₁D₁．
（2）解：∵四邊形ABCD是正方形，
∴AO⊥BD，
∵BB₁⊥平面ABCD，AO?平面ABCD，
∴AO⊥BB₁，又BB₁∩BD=B，
∴AO⊥平面BB₁D₁D，
∵AA₁∥BB₁，A到平面BB₁D₁D的距離等于E到平面BB₁D₁D的距離．
∵AA₁=2AB=2BC=4，∴BD=2$\sqrt{2}$，AO=$\sqrt{2}$，
∴V${\;}_{E-B{B}_{1}{D}_{1}D}$=$\frac{1}{3}{S}_{矩形B{B}_{1}{D}_{1}D}•AO$=$\frac{1}{3}×4×2\sqrt{2}×\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了線面平行、線面垂直的判定，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．