Question

已知向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))；令f（x）=

a

•

b

，
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）若x∈[-

π

6

，

5π

6

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：兩角和與差的正弦函數(shù),平面向量數(shù)量積的運算,正弦函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）由平面向量的數(shù)量積的坐標表示，和兩角和的余弦公式，即可得到；
（2）運用余弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，解不等式即可得到；
（3）由x的范圍，求得x+

π

3

的范圍，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到所求的最值．

解答： 解；（1）由于f（x）=

a

•

b

，
向量

a

=(cos

3x

4

．sin

3x

4

)，

b

=(cos(

x

4

+

π

3

)，-sin(

x

4

+

π

3

))，
則f(x)=cos

3x

4

cos(

x

4

+

π

3

)-sin

3x

4

sin(

x

4

+

π

3

)=cos(x+

π

3

)；
（2）當2kπ-π≤x+

π

3

≤2kπ，即2kπ-

4π

3

≤x≤2kπ-

π

3

，k∈Z時，f（x）單調(diào)遞增；
則f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為：[2kπ-

4π

3

，2kπ-

π

3

]，k∈Z；
（3）由x∈[-

π

6

，

5π

6

]得x+

π

3

∈[

π

6

，

7π

6

]，-1≤cos(x+

π

3

)≤

3

2

，
當x=-

π

6

時，f(x)max=

3

2

，當x=

2π

3

時f(x)min=-1．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標表示，考查兩角和的余弦公式，考查余弦函數(shù)的單調(diào)性和值域，屬于中檔題．