Question

11．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³-alnx-$\frac{1}{3}$（a∈R，a≠0）
（1）當(dāng)a=3時，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；
（2）若對任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計算f（1），f′（1），求出切線方程即可；
（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)f（x）的最小值大于等于0，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=3時，f（x）=$\frac{1}{3}$x³-3lnx-$\frac{1}{3}$，f（1）=0，
∴f′（x）=x²-$\frac{3}{x}$，∴f′（1）=-2，切點(diǎn)為（1，0），
∴曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為：
y-0=（-2）•（x-1），即2x+y-2=0．
（2）對任意的x∈[1，+∞），使f（x）≥0恒成立，
只需對任意的x∈[1，+∞），f（x）min≥0，
∴f′（x）=$\frac{{x}^{3}-a}{x}$，（x＞0），
當(dāng)a＜0時，f′（x）＞0恒成立，
∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（0，+∞）；
當(dāng)a＞0時，令f′（x）=0，解得：x=$\root{3}{a}$或x=-$\root{3}{a}$（舍），
x，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\root{3}{a}$）	$\root{3}{a}$	（$\root{3}{a}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

∴函數(shù)f（x）的遞增區(qū)間為（$\root{3}{a}$，+∞），遞減區(qū)間為（0，$\root{3}{a}$），
①當(dāng)a＜0時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$-aln1-$\frac{1}{3}$=0，∴a＜0滿足題意；
②當(dāng)0＜a≤1時，0＜$\root{3}{a}$≤1，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（1）=$\frac{1}{3}$-aln1-$\frac{1}{3}$=0，∴0＜a≤1滿足題意；
③當(dāng)a＞1時，$\root{3}{a}$＞1，函數(shù)f（x）在（1，$\root{3}{a}$）上是減函數(shù)，在（$\root{3}{a}$，+∞）上是增函數(shù)，
∴f（x）_min=f（$\root{3}{a}$）=$\frac{a-alna-1}{3}$＜f（1）=0，
∴a＞1不滿足題意．
綜上，a的取值范圍為（-∞，0）∪（0，1]．

點(diǎn)評 本題考查了切線方程問題，考查函數(shù)的單調(diào)性．最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想，是一道中檔題．