Question

已知橢圓C：的兩個(gè)焦點(diǎn)是F₁(c,0)，F(xiàn)₂(c，0)(c>0)。

(I)若直線與橢圓C有公共點(diǎn)，求的取值范圍；

(II)設(shè)E是(I)中直線與橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)，求|EF₁|+|EF₂|取得最小值時(shí)，橢圓的方程；

(III)已知斜率為k(k≠0)的直線l與(II)中橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，點(diǎn)Q滿足    且，其中N為橢圓的下頂點(diǎn)，求直線l在y軸上截距的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

(I) .（II）.（III）直線縱截距的范圍是.

【解析】

試題分析：(I)由題意聯(lián)立方程組

由得，

根據(jù)，即可得到的取值范圍是.

（II）由橢圓的定義得,

及，得到當(dāng)時(shí)，有最小值，確定得到橢圓的方程的方程.

（III）設(shè)直線方程為，

通過聯(lián)立 ,整理得到一元二次方程，設(shè)，

應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合得為的中點(diǎn)， ，得到，可建立的方程， 從而由得到使問題得解.

試題解析：(I)由題意知.

由得，

所以，解得，

所以求的取值范圍是.

（II）由橢圓的定義得,

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031504400812706843/SYS201403150442208770648848_DA.files/image001.png">，所以當(dāng)時(shí)，有最小值，

此時(shí)橢圓的方程的方程為.

（III）設(shè)直線方程為，

由整理得，

化簡(jiǎn)得

設(shè)

則

由得為的中點(diǎn)，所以

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn//pic6/res/gzsx/web/STSource/2014031504400812706843/SYS201403150442208770648848_DA.files/image019.png">，所以

即，化簡(jiǎn)得

又，

所以

又，所以

.

考點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的位置關(guān)系.