Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是直角三角形，AC=BC=AA₁=2，D為側棱AA₁的中點．
（1）求異面直線DC₁，B₁C所成角的余弦值；
（2）求二面角B₁-DC-C₁的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】分析：（1）以C為原點，CA、CB、CC₁為坐標軸，建立空間直角坐標系C-xyz，寫出要用的點的坐標，寫出兩個向量的方向向量，根據兩個向量所成的角得到兩條異面直線所成的角．
（2）先求兩個平面的法向量，在第一問的基礎上，有一個平面的法向量是已知的，只要寫出向量的表示形式就可以，另一個平面的向量需要求出，根據兩個法向量所成的角得到結果．
解答：解：（1）如圖所示，以C為原點，CA、CB、CC₁為坐標軸，建立空間直角坐標系
C-xyz．
則C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C₁（0，0，2），B₁（0，2，2），D（2，0，1）．
所以=（-2，0，1），=（0，-2，-2）． 
所以cos＜＞===-．
即異面直線DC₁與B₁C所成角的余弦值為．
（2）因為=（0，2，0），=（2，0，0），=（0，0，2），
所以•=0，•=0，
所以為平面ACC₁A₁的一個法向量．         
因為=（0，-2，-2），=（2，0，1），
設平面B₁DC₁的一個法向量為n，n=（x，y，z）．
由，得
令x=1，則y=2，z=-2，n=（1，2，-2）．
所以cos＜n，＞===．
所以二面角B₁-DC-C₁的余弦值為．
點評：本題考查利用空間向量解決幾何體中的夾角問題，包括兩條異面直線的夾角和兩個平面的夾角，本題解題的關鍵是建立坐標系．