本試題主要是考查了函數的單調性和不等式的解集,
(1)令x
2=x
1>0,代入得f(1)+f(x
1)=f(x
1),故f(1)=0.
(2)任取x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1>x
2,則
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>1,由于當x>1時,f(x)<0,
所以f
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<0,即f (x
1)-f(x
2)<0,因此f(x
1)<f(x
2),
(3)由題意有f
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=f(x
1)-f(x
2),則f
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=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2進而求解不等式。
解 (1)令x
2=x
1>0,代入得f(1)+f(x
1)=f(x
1),故f(1)=0.……………………3分
(2)任取x
1,x
2∈(0,+∞),且x
1>x
2,則
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>1,由于當x>1時,f(x)<0,
所以f
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<0,即f (x
1)-f(x
2)<0,因此f(x
1)<f(x
2),
所以函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞減函數.……………………7分
(3)由題意有f
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=f(x
1)-f(x
2),則f
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=f(9)-f(3),而f(3)=-1,所以f(9)=-2.………………9分
由于函數f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是單調遞減函數,
由f(|x|)>f(9),得|x|<9,∴-9<x<9.……………………11分
又因為|x|>0,因此不等式的解集為{x| -9<x<0或0<x<9}.……………………12分