(附加題)設(shè)x為實數(shù),定義[x]為不小于x的最小整數(shù),例如[π]=4,[-π]=-3.
(1)關(guān)于實數(shù)x的方程[3x+1]=2x-
1
2
的全部實根之和等于
-4
-4

(2)方程x2-8[x]+7=0的所有解為
{1,
33
,
41
 ,7
}
{1,
33
41
 ,7
}
分析:(1)設(shè)2x-
1
2
=k∈Z,則x=
2k+1
4
,3x+1=k+1+
2k+3
4
,于是原方程等價于[
2k+3
4
]=-1
,從而可得k=-5或-4,求出相應(yīng)的x,就可得所有實根之和;
(2)根據(jù)x≥[x]=
x2+7
8
>0
,可得x2-8x+7≤0,即1≤x≤7,分[x]=1,2,3,4,5,6,7討論,就可以得到方程x2-8[x]+7=0的所有解.
解答:解:(1)設(shè)2x-
1
2
=k∈Z,則x=
2k+1
4
,3x+1=k+1+
2k+3
4
,
于是原方程等價于[
2k+3
4
]=-1
,即-2<
2k+3
4
≤-1
,
從而-
11
2
<k≤-
7
2
,即k=-5或-4.
相應(yīng)的x為-
9
4
,-
7
4
.于是所有實根之和為-4
(2)∵x≥[x]=
x2+7
8
>0
,∴x2-8x+7≤0,∴1≤x≤7
[x]=1,x2=1,∴x=1;
[x]=2,x2=9,x=3與[x]=2矛盾;
[x]=3,x2=17,[x]=4與[x]=3矛盾;
[x]=4,x2=25,x=5與[x]=4矛盾;
[x]=5,x2=33,[x]=5;
[x]=6,x2=41,[x]=6;
[x]=7,x2=49,x=7
綜上知,方程x2-8[x]+7=0的所有解為{1,
33
41
 ,7
}
故答案為:(1)-4;(2){1,
33
,
41
 ,7
}
點評:本題考查新定義,考查學(xué)生分析解決問題的能力,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于中檔題.
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