Question

（附加題）設(shè)x為實(shí)數(shù)，定義[x]為不小于x的最小整數(shù)，例如[π]=4，[-π]=-3．
（1）關(guān)于實(shí)數(shù)x的方程[3x+1]=2x-的全部實(shí)根之和等于______．
（2）方程x²-8[x]+7=0的所有解為_(kāi)_____

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)2x-=k∈Z，則，3x+1=k+1+，于是原方程等價(jià)于，從而可得k=-5或-4，求出相應(yīng)的x，就可得所有實(shí)根之和；
（2）根據(jù)x≥[x]=，可得x²-8x+7≤0，即1≤x≤7，分[x]=1，2，3，4，5，6，7討論，就可以得到方程x²-8[x]+7=0的所有解．
解答：解：（1）設(shè)2x-=k∈Z，則，3x+1=k+1+，
于是原方程等價(jià)于，即，
從而，即k=-5或-4．
相應(yīng)的x為．于是所有實(shí)根之和為-4
（2）∵x≥[x]=，∴x²-8x+7≤0，∴1≤x≤7
[x]=1，x²=1，∴x=1；
[x]=2，x²=9，x=3與[x]=2矛盾；
[x]=3，x²=17，[x]=4與[x]=3矛盾；
[x]=4，x²=25，x=5與[x]=4矛盾；
[x]=5，x²=33，[x]=5；
[x]=6，x²=41，[x]=6；
[x]=7，x²=49，x=7
綜上知，方程x²-8[x]+7=0的所有解為{1，}
故答案為：（1）-4；（2）{1，}
點(diǎn)評(píng)：本題考查新定義，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．