Question

已知曲線C上任意一點P到兩定點F1(?1,0)與F2(1,0)的距離之和為4．

（1）求曲線C的方程；

（2）設曲線C與x軸負半軸交點為A，過點M(?4,0)作斜率為k的直線l交曲線C于B、C兩點（B在M、C之間），N為BC中點．

(ⅰ)證明：k·kON為定值；

(ⅱ)是否存在實數(shù)k，使得F1N⊥AC？如果存在，求直線l的方程，如果不存在，請說明理由．

 

Answer 1

（1）;（2）(�。�;(ⅱ）不存在．

【解析】

試題分析：（1）由于曲線C上任意一點P到兩定點F1(?1,0)與F2(1,0)的距離之和為4，結(jié)合橢圓的定義可知曲線Ｃ是以兩定點F1(?1,0)和F2(1,0)為焦點，長軸長為４的橢圓，從而可寫出曲線C的方程；

（2）由已知可設出過點直線l的方程，并設出直線l與曲線C所有交點的坐標；然后聯(lián)立直線方程與曲線C的方程，消去y就可獲得一個關于x的一元二次方程，應用韋達定理就可寫出兩交點模坐標的和與積；(ⅰ)應用上述結(jié)果就可以用k的代數(shù)式表示出弦的中點坐標，這樣就可求出ON的斜率，再乘以k就可證明k·kON為定值；(ⅱ）由F1N⊥AC，得kAC•kFN= ?1，結(jié)合前邊結(jié)果就可將此等式轉(zhuǎn)化為關于k的一個方程，解此方程，若無解，則對應直線不存在，若有解，則存在且對應直線方程很易寫出來.

試題解析：（1）由已知可得：曲線Ｃ是以兩定點F1(?1,0)和F2(1,0)為焦點，長軸長為４的橢圓，所以，故曲線C的方程為：. 4分

（2）設過點M的直線l的方程為y=k(x+4)，設B(x1, y1)，C(x2, y2）(x2>y2)．

(ⅰ)聯(lián)立方程組，得，

則， 5分

故，， 7分

所以，所以k•kON=為定值. 8分

(ⅱ)若F1N⊥AC，則kAC•kFN= ?1，

因為F1 (?1,0)，故， 10分

代入y2=k(x2+4)得x2=?2?8k2，y2=2k ?8k3，而x2≥?2，故只能k=0，顯然不成立，所以這樣的直線不存在． 13分

考點：1.橢圓的方程;2.直線與橢圓的位置關系.