Question

6．已知等差數(shù)列{a_n}的首項為1，等比數(shù)列{b_n}的前兩項為a₂，a₅且公比為3，記數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n，數(shù)列{b_n}的前n項和為B_n．
（I）求A_n，B_n；
（Ⅱ）如果$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{_{n}}{{B}_{n}}$，試求所有正整數(shù)n的值．

Answer 1

分析 （I）利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出；
（II）由$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{_{n}}{{B}_{n}}$，可得：$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$≥$\frac{{3}^{n}}{\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）}$，化為：3^n-1（6n-3-2n²）≥2n-1．由6n-3-2n²≥0，解得n的值即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，則a_n=1+（n-1）d，
∴a₂=1+d，a₅=1+4d．
∵等比數(shù)列{b_n}的前兩項為a₂，a₅且公比為3，
∴$3=\frac{{a}_{5}}{{a}_{2}}$=$\frac{1+4d}{1+d}$，解得d=2．
∴a_n=2n-1，
b_n=${a}_{2}×{3}^{n-1}$=3ⁿ．
∴數(shù)列{a_n}的前n項和為A_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
數(shù)列{b_n}的前n項和為B_n=$\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$=$\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）$．
（II）由$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{_{n}}{{B}_{n}}$，可得：$\frac{2n-1}{{n}^{2}}$≥$\frac{{3}^{n}}{\frac{3}{2}（{3}^{n}-1）}$，
化為：3^n-1（6n-3-2n²）≥2n-1．
由6n-3-2n²≥0，解得：$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$≤n≤$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，
可得：當n=1時，1≥1，成立；
當n=2時，3≥3，成立；
當n≥3時，不成立．
∴使得$\frac{{a}_{n}}{{A}_{n}}$≥$\frac{_{n}}{{B}_{n}}$成立的所有正整數(shù)n的值為1，2．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．