Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ln

kx-1

x-1

．
（I）當(dāng)k=-1時(shí)，判斷f（x）的奇偶性并給予證明；
（II）若f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）由k=-1代入，確定函數(shù)的解析式與定義域，判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若對(duì)稱再判斷f（-x）與f（x）的關(guān)系，根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義可得答案．
（II）根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得若f（x）在[e，+∞）上單調(diào)遞增，則u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數(shù)，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立，求導(dǎo)后構(gòu)造關(guān)于k的不等式組，解得可得答案．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)f(x)=ln

-x-1

x-1

，
定義域?yàn)椋?1，1），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．                               …（2分）
且f(-x)=ln

x-1

-x-1

．
所以f(x)+f(-x)=ln

-x-1

x-1

+ln

x-1

-x-1

=ln(

-x-1

x-1

•

x-1

-x-1

)=ln1=0，
即f（-x）=-f（x）．
所以當(dāng)k=-1時(shí)，函數(shù)f（x）的奇函數(shù)．                            …（6分）
（Ⅱ）因?yàn)閥=lnu是增函數(shù)，
所以由題意，u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數(shù)，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．   …（8分）
即g′(x)=

1-k

(x-1)2

＞0對(duì)于x∈[e，+∞）恒成立且g（e）＞0…（10分）
所以

1-k＞0 ek-1 e-1 ＞0

，解得

1

e

＜k＜1．
所以k的取值范圍是(

1

e

，1)．    …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，（I）的關(guān)鍵是掌握證明函數(shù)奇偶性的方法及步驟，（II）的關(guān)鍵是分析出u=g(x)=

kx-1

x-1

在[e，+∞）上是增函數(shù)，且g（x）＞0在[e，+∞）上恒成立．