Question

16．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$）（ω＞0）．
（I）若f（x+θ）是最小正周期為2π的偶函數(shù)，求ω及θ的值；
（Ⅱ）若[-$\frac{5π}{3}$，$\frac{π}{3}$]是f（x）的一個遞增區(qū)間，求ω的值．
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若g（x）=f（-π-4x），求函數(shù)g（x）的單調(diào)增區(qū)間和最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件求得f（x+θ）的解析式，再利用正弦函數(shù)周期性和奇偶性，求得ω及θ值；
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求出ω的值即可；
（Ⅲ）求出g（x）的表達式，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出g（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）由于f（x）=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+$\frac{π}{3}$），
可得f（x+θ）=2$\sqrt{3}$sin[3ω（x+θ）+$\frac{π}{3}$]=2$\sqrt{3}$sin（3ωx+3ωθ+$\frac{π}{3}$），
再根據(jù)f（x+θ）是周期為2π的偶函數(shù)，可得 $\frac{2π}{3ω}$=2π，3ωθ+$\frac{π}{3}$=kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z．
求得ω=$\frac{1}{3}$，θ=kπ+$\frac{π}{6}$，f（x）=2$\sqrt{3}$sin（x+$\frac{π}{3}$）．
（Ⅱ）由2kπ-$\frac{π}{2}$≤3ωx+$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，
得：$\frac{2kπ}{3ω}$-$\frac{5π}{18ω}$≤x≤$\frac{2kπ}{3ω}$+$\frac{π}{18ω}$，
而-$\frac{5π}{3}$≤x≤$\frac{π}{3}$，
故ω=$\frac{1}{6}$；
（Ⅲ）由（Ⅱ）得：f（x）=2$\sqrt{3}$sin（$\frac{1}{2}$x+$\frac{π}{3}$），
∴g（x）=f（-π-4x）=2$\sqrt{3}$sin[$\frac{1}{2}$（-π-4x）+$\frac{π}{3}$]=-2$\sqrt{3}$sin（2x+$\frac{π}{6}$），
由2kπ+$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{3π}{2}$，得：kπ+$\frac{π}{6}$≤x≤kπ+$\frac{2π}{3}$，
故g（x）在[kπ+$\frac{π}{6}$，kπ+$\frac{2π}{3}$]遞增，最大值是2$\sqrt{3}$．

點評 本題考查了三角函數(shù)問題，考查函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，是一道中檔題．