Question

二項(xiàng)式(x+

1

2x

)n展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)依次成等差數(shù)列，則展開式各項(xiàng)系數(shù)的和是（　�。�

• A．2⁸
• B．2⁷
• C．(

  3

  2

  )8
• D．(

  3

  2

  )7

Answer 1

分析：求出數(shù)列的前3項(xiàng)的系數(shù)，利用前三項(xiàng)系數(shù)依次成等差數(shù)列，求出n，然后利用賦值法求出展開式各項(xiàng)系數(shù)的和．

解答：解：二項(xiàng)式(x+

1

2x

)n展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)依次為

C

0 n

 ，

1

2

C

1 n

，    

1

4

C

2 n

；
因?yàn)榍叭��?xiàng)系數(shù)依次成等差數(shù)列，
所以

C

1 n

=

C

0 n

 +

1

4

C

2 n

，
即：n²-9n+8=0，解得n=8或n=1（舍去），
當(dāng)x=1時(shí)二項(xiàng)式(x+

1

2x

)8展開式各項(xiàng)系數(shù)的和是：(1+

1

2

)8=(

3

2

)8．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)題，考查等差數(shù)列的基本知識(shí)，二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，考查賦值法的應(yīng)用，計(jì)算能力．