Question

二項(xiàng)式(x-

1

2 x

)n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，則展開(kāi)式中含x³項(xiàng)的系數(shù)是

15

4

．

Answer 1

分析：依題意，2ⁿ=64可求得n，再利用二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)為3求得r即可．

解答：解：∵二項(xiàng)式(x-

1

2 x

)n的展開(kāi)式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和是64，
∴2ⁿ=64，
∴n=6；
設(shè)(x-

1

2 x

)6的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1，則T_r+1=

C

r 6

•x^6-r•(-

1

2

)r•(x-

1

2

)r
=(-

1

2

)r•

C

r 6

•x6-r-

r

2

，
令6-r-

r

2

=3，得r=2．
∴展開(kāi)式中含x³項(xiàng)的系數(shù)是(-

1

2

)2•

C

2 6

=

15

4

．
故答案為：

15

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令x的冪指數(shù)為3求得r是關(guān)鍵，屬于中檔題．