Question

已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sinA，2+cosA），且

m

∥

n

，邊AC長為2．
（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）若

1+sin2B

cos2B-sin2B

=3，求邊AB的長．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：三角函數(shù)的求值,解三角形,平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）首先根據(jù)向量的共線直接求出A的值．
（Ⅱ）先根據(jù)關(guān)系式求出tanB的值，進(jìn)一步求出B的正弦和余弦值，最后利用正弦定理求出結(jié)果．

解答： 解：（Ⅰ）已知A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，向量

m

=（1，

3

），

n

=（sinA，2+cosA），且

m

∥

n

，
所以：

3

sinA-(2+cosA)=0
進(jìn)一步求得：2sin(A-

π

6

)=2
所以：sin(A-

π

6

)=1
∵0＜A＜π
求得：A=

2π

3

（Ⅱ）已知：

1+sin2B

cos2B-sin2B

=3
所以：4sinB=2cosB
解得：tanB=

1

2

進(jìn)一步解得：sinB=

5

5

，cosB=

2 5

5

sinC=sin（

π

3

-B）=

(2 3 -1) 5

10

利用正弦定理：

AC

sinB

=

AB

sinC

解得：AB=2

3

-1

點評：本題考查的知識要點：向量的坐標(biāo)運算，向量共線的充要條件，三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換，正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．