Question

19．若拋物線C：y²=-2x上只有兩點到直線l：kx-y-k=0的距離為1，則實數(shù)k的取值范圍是$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$
或k=0．

Answer 1

分析 求出與直線l：kx-y-k=0的距離為1的直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式，即可得出結(jié)論．

解答 解：直線l：kx-y-k=0恒過點（1，0）．
設(shè)與直線l：kx-y-k=0的距離為1的直線方程為kx-y+c=0，則$\frac{|c+k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
∴c=-k±$\sqrt{{k}^{2}+1}$，
∴所求直線方程為kx-y-k±$\sqrt{{k}^{2}+1}$=0，
k≠0，與拋物線C：y²=-2x聯(lián)立可得y²+$\frac{2}{k}$y+2±2$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=0，
∵拋物線C：y²=-2x上只有兩點到直線l：kx-y-k=0的距離為1，
∴△=$\frac{4}{{k}^{2}}-8±8\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$＞0，
∴$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$
k=0時，顯然成立．
∴$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$或k=0
故答案為：$k＜-\frac{{\sqrt{2}}}{4}$或k＞$\frac{\sqrt{2}}{4}$或k=0．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查兩條平行線間距離的計算，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．