Question

已知a，b，c，d是不全為零的實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）=bx²+cx+d，g（x）=ax³+bx²+cx+d．方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根，且f（x）=0的實(shí)數(shù)根都是g（f（x））=0的根；反之，g（f（x））=0的實(shí)數(shù)根都是f（x）=0的根．
（1）求d的值；
（2）若a=0，求c的取值范圍；
（3）若a=1，f（1）=0，求c的取值范圍．

Answer 1

分析：解：（1）不妨設(shè)r為方程的一個(gè)根，即f（r）=0，則由題設(shè)得g（f（r））=0．進(jìn)而有g(shù)（0）=g（f（r））=0，再由g（0）=d求解．
（2）由（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．所以有g(shù)（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．而方程f（x）=0即為x（bx+c）=0．①方程g（f（x））=0即為x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②最后按方程的類型，分（ⅰ）當(dāng)c=0時(shí)，b≠0，（ⅱ）當(dāng)c≠0，b=0（ⅲ）當(dāng)c≠0，b≠0討論．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，將函數(shù)的系數(shù)都用c表示：f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．然后，按照c=0和c≠兩種情況，用判別式判斷求解．

解答：解：（1）設(shè)r為方程的一個(gè)根，即f（r）=0，則由題設(shè)得g（f（r））=0．
于是，g（0）=g（f（r））=0，即g（0）=d=0．
所以，d=0．
（2）由題意及（1）知f（x）=bx²+cx，g（x）=ax³+bx²+cx．
由a=0得b，c是不全為零的實(shí)數(shù)，且g（x）=bx²+cx=x（bx+c），
則g（f（x））=x（bx+c）[bx（bx+c）+c]=x（bx+c）（b²x²+bcx+c）．
方程f（x）=0就是x（bx+c）=0．①
方程g（f（x））=0就是x（bx+c）（b²x²+bcx+c）=0．②
（�。┊�(dāng)c=0時(shí)，b≠0，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
（ⅱ）當(dāng)c≠0，b=0時(shí)，方程①、②的根都為x=0，符合題意．
（ⅲ）當(dāng)c≠0，b≠0時(shí)，方程①的根為x₁=0，x2=-

c

b

，它們也都是方程②的根，但它們不是方程b²x²+bcx+c=0的實(shí)數(shù)根．
由題意，方程b²x²+bcx+c=0無(wú)實(shí)數(shù)根，此方程根的判別式△=（bc）²-4b²c＜0，得0＜c＜4．
綜上所述，所求c的取值范圍為[0，4）．
（3）由a=1，f（1）=0得b=-c，f（x）=bx²+cx=cx（-x+1），g（f（x））=f（x）[f²（x）-cf（x）+c]．③
由f（x）=0可以推得g（f（x））=0，知方程f（x）=0的根一定是方程g（f（x））=0的根．
當(dāng)c=0時(shí)，符合題意．
當(dāng)c≠0時(shí)，b≠0，方程f（x）=0的根不是方程f²（x）-cf（x）+c=0④的根，
因此，根據(jù)題意，方程④應(yīng)無(wú)實(shí)數(shù)根．
那么當(dāng)（-c）²-4c＜0，即0＜c＜4時(shí)，f²（x）-cf（x）+c＞0，符合題意．
當(dāng)（-c）²-4c≥0，即c＜0或c≥4時(shí)，由方程④得f(x)=-cx2+cx=

c± c2-4c

2

，
即cx2-cx+

c± c2-4c

2

=0，⑤
則方程⑤應(yīng)無(wú)實(shí)數(shù)根，
所以有(-c)2-4c

c+ c2-4c

2

＜0且(-c)2-4c

c- c2-4c

2

＜0．
當(dāng)c＜0時(shí)，只需-c2-2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

，矛盾，舍去．
當(dāng)c≥4時(shí)，只需-c2+2c

c2-4c

＜0，解得0＜c＜

16

3

．
因此，4≤c＜

16

3

．
綜上所述，所求c的取值范圍為[0，

16

3

)．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用，主要涉及了方程的根，函數(shù)的最值，還考查了分類討論思想，轉(zhuǎn)化思想．