Question

6．對于命題P：存在一個常數(shù)M，使得不等式$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$對任意正數(shù)a，b恒成立．
（1）試給出這個常數(shù)M的值；
（2）在（1）所得結(jié)論的條件下證明命題P；
（3）對于上述命題，某同學正確地猜想了命題Q：“存在一個常數(shù)M，使得不等式$\frac{a}{3a+b}+\frac{3b+c}+\frac{c}{3c+a}≤M≤\frac{a}{a+3b}+\frac{b+3c}+\frac{c}{c+3a}$對任意正數(shù)a，b，c恒成立．”觀察命題P與命題Q的規(guī)律，請猜想與正數(shù)a，b，c，d相關(guān)的命題．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，利用特殊值法，令a=b可得，$\frac{2}{3}≤M≤\frac{2}{3}$，分析即可得M的值；
（2）由分析法的思路：先證明$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤\frac{2}{3}$，再類比可以證明$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$，綜合即可得證明；
（3）利用類比推理的思路，分析可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，由于$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$對任意正數(shù)a，b恒成立，
令a=b得：$\frac{2}{3}≤M≤\frac{2}{3}$，
故$M=\frac{2}{3}$； 
（2）要證明$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤M≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$，
先證明$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤\frac{2}{3}$．
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2b+a）+3b（2a+b）≤2（2a+b）（2b+a），
即證a²+b²≥2ab即證（a-b）²≥0，這顯然成立．
∴$\frac{a}{2a+b}+\frac{2b+a}≤\frac{2}{3}$．
再證明$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$．
∵a＞0，b＞0，要證上式，只要證3a（2a+b）+3b（2b+a）≥2（a+2b）（b+2a），
即證a²+b²≥2ab即證（a-b）²≥0，這顯然成立．
∴$\frac{2}{3}≤\frac{a}{a+2b}+\frac{b+2a}$；
（3）猜想結(jié)論：存在一個常數(shù)M，使得不等式$\frac{a}{4a+b}+\frac{4b+c}+\frac{c}{4c+d}+\fracy4ya2me{4d+a}≤M≤\frac{a}{a+4b}+\frac{b+4c}+\frac{c}{c+4d}+\fracoya2sc4{d+4a}$對任意正數(shù)a，b，c，d恒成立．

點評 本題考查用分析法證明不等式，類比推理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用特殊值法找出M的值．