Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為Sn，且S_n=4a_n-p，其中p是不為零的常數(shù)．
（1）證明：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=3時(shí)，若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

證明：（1）證：因?yàn)镾_n=4a_n-p（n∈N^*），則S_n-1=4a_n-1-p（n∈N^*，n≥2），
所以當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=4a_n-4a_n-1，整理得．（5分）
由S_n=4a_n-p，令n=1，得a₁=4a₁-a，解得．
所以a_n是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列．（7分）
（2）解：因?yàn)閍₁=1，則，
由b_n+1=a_n+b_n（n=1，2，），得，（9分）
當(dāng)n≥2時(shí)，由累加得b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=，
當(dāng)n=1時(shí)，上式也成立．（14分）
分析：（1）通過S_n=4a_n-p，利用a_n=S_n-S_n-1，求出，利用等比數(shù)列的定義證明數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）當(dāng)p=3時(shí)，若數(shù)列{b_n}滿足b_n+1=b_n+a_n（n∈N^*），b₁=2，推出，利用b_n=b₁+（b₂-b_′1）+（b₃-b₂）++（b_n-b_n-1），求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明，注意利用a_n=S_n-S_n-1時(shí)，必須驗(yàn)證n=1的情形，否則容易出錯(cuò)誤．