Question

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到定點(diǎn)F（1，0）的距離與點(diǎn)P到定直線l：x=4的距離之比為

1

2

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)M、N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，若

EM

•

FN

=0，求|MN|的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），由條件列出方程，兩邊平方，并化簡(jiǎn)方程，即可得到；
（2）求出F，E的坐標(biāo)，可設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），由

EM

•

FN

=0，得到15+y₁y₂=0，y₂=-

15

y1

，求出|MN|=|y₁-y₂|=|y₁|+|y₂|運(yùn)用基本不等式求出最小值即可．

解答： 解：（1）設(shè)點(diǎn)P（x，y），依題意，有

(x-1)2+y2

|x-4|

=

1

2

，
兩邊平方，整理得

x2

4

+

y2

3

=1．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（2）F的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)E與點(diǎn)F關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)，所以E（-1，0），
∵M(jìn)，N是直線l上的兩個(gè)點(diǎn)，可設(shè)M（4，y₁），N（4，y₂），
由

EM

•

FN

=0
∴（5，y₁）•（3，y₂）=0，
15+y₁y₂=0，y₂=-

15

y1

，且y₁與y₂異號(hào)，
∴|MN|=|y₁-y₂|=|y₁|+|y₂|=|y₁|+

15

|y1|

≥2

15

，
當(dāng)且僅當(dāng)|y₁|=

15

，即M（4，

15

），N（4，-

15

）時(shí)等號(hào)成立，
故|MN|的最小值為2

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查軌跡方程的求法：直接法，考查平面向量的垂直的坐標(biāo)表示，基本不等式的運(yùn)用：求最值，注意等號(hào)成立的條件，屬于較基礎(chǔ)題．