Question

已知命題p：f（x）=x²-4mx+4m²+2在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2；命題q：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}．如果“命題p且q為假命題”，“命題p或q為真命題”試求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：利用一元二次函數(shù)在區(qū)間[-1，3]上的最小值等于2，分類討論求得m的取值范圍；根據(jù)集合之間的包含關系求出命題q為真時m的范圍，由復合命題真值表知：若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則命題p、q一真一假，分p真q假和q真p假兩種情況求出m的范圍，再求并集．

解答：解：若命題P為真，由f（x）=（x-2m）²+2，對稱軸x=2m
當2m≤1即m≤-

1

2

時，f（x）在[-1，3]上為增函數(shù)f（x）_min=f（-1）=4m²+4m+3=2即4m²+4m+1=0?m=-

1

2

；
當-1＜2m≤3即-

1

2

＜m≤

3

2

時f（x）_min=f（2m）=2符合
當2m＞3即m＞

3

2

時，f（x）在[-1，3]上為減函數(shù)f（x）_min=f（3）=4m²-12m+11=2即（2m-3）²=0⇒m=

3

2

不符合
綜上可知，若P為真，則-

1

2

≤m≤

3

2

．
由：{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x²≥1}，得m＞2m+1或1≤m≤2m+1或m≤2m+1≤-1，
解得m≥1或m≤-1．
由復合命題真值表知：若p∨q是真命題，p∧q是假命題，則命題p、q一真一假，
當p真q假時，則

- 1 2 ≤m≤ 3 2 -1＜m＜1

⇒-

1

2

≤m＜1；
當q真p假時，則

m＞ 3 2 或m＜- 1 2 m≥1或m≤-1

⇒m＞

3

2

或m≤-1，
綜上實數(shù)m的取值范圍是（-∞，-1]∪[-

1

2

，1）（

3

2

，+∞）．

點評：本題借助考查復合命題的真假判定，考查了一元二次函數(shù)的最值討論及集合的包含關系，解題的關鍵是求出組成復合命題的簡單命題為真時m的范圍．