Question

11．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（　�。�

• A． y=x|x|
• B． y=x²，x∈[-1，1]
• C． $y=-\frac{1}{x}，x∈[{-1，0}）∪（{0，1}）$
• D． y=x+1

Answer 1

分析 根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義對各選項作出判斷，對于對于A選項：f（-x）=-x|x|=-f（x），得出f（x）為奇函數(shù)，再根據(jù)x≥0時，f（x）單調(diào)遞增，推得f（x）在定義域上單調(diào)遞增．

解答 解：根據(jù)奇偶性和單調(diào)性的定義對各選項判斷如下：
對于A選項：y=f（x）=x|x|，f（-x）=-x|x|=-f（x），所以f（x）奇函數(shù)，
當(dāng)x≥0時，f（x）=x²，單調(diào)遞增，所以f（x）在定義域上單調(diào)遞增，符合題意；
對于B選項：y=f（x）=x²是[-1，1]上的偶函數(shù)，不合題意；
對于C選項：y=f（x）=-$\frac{1}{x}$為奇函數(shù)，且在[-1，0）上遞增，在（0，1]上遞增，
但是在x∈[-1，0）∪（0，1]不是增函數(shù)，不合題意；
對于D選項：y=f（x）=x+1不具有奇偶性，不合題意；
故答案為：A．

點評 本題主要考查了函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的判斷，涉及單調(diào)性的判斷和單調(diào)區(qū)間的確定，尤其注意函數(shù)y=-$\frac{1}{x}$在各子區(qū)間上單調(diào)遞增，但在整個定義域上卻不是增函數(shù)，屬于中檔題．