Question

1．設(shè)P，Q分別是梯形ABCD的對(duì)角線AC與BD的中點(diǎn)
（1）試用向量證明：PQ∥AB；
（2）若AB=3CD，求PQ：AB的值．

Answer 1

分析 （1）用向量表示$\overrightarrow{CQ}$，$\overrightarrow{CP}$，得出向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{CD}$的關(guān)系，再根據(jù)向量$\overrightarrow{CD}$與$\overrightarrow{AB}$共線，得出向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{PQ}$共線即可；
（2）根據(jù)向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$反向，且|$\overrightarrow{AB}$|=3|$\overrightarrow{CD}$|得出向量$\overrightarrow{PQ}$與$\overrightarrow{AB}$的數(shù)量關(guān)系，即得PQ：AB的值．

解答 解：（1）∵Q為BD中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$=2$\overrightarrow{CQ}$，
又 P為AC中點(diǎn)，∴$\overrightarrow{CA}$=2$\overrightarrow{CP}$；
∴2$\overrightarrow{PQ}$=2$\overrightarrow{CQ}$-2$\overrightarrow{CP}$=（$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$）-$\overrightarrow{CA}$=$\overrightarrow{CB}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{CD}$，
又向量$\overrightarrow{CD}$與$\overrightarrow{AB}$共線，
設(shè)向量$\overrightarrow{CD}$=λ$\overrightarrow{AB}$，
則2$\overrightarrow{PQ}$=（1+λ）$\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1+λ}{2}$$\overrightarrow{AB}$①，
又梯形ABCD中|$\overrightarrow{AB}$|≠|(zhì)$\overrightarrow{CD}$|，∴λ≠-1，
∴$\overrightarrow{PQ}$∥$\overrightarrow{AB}$，即PQ∥AB；
（2）∵向量$\overrightarrow{AB}$與$\overrightarrow{CD}$反向，且|$\overrightarrow{AB}$|=3|$\overrightarrow{CD}$|；
所以$\overrightarrow{AB}$=-3$\overrightarrow{CD}$，即λ=-$\frac{1}{3}$代入①式，
得$\overrightarrow{PQ}$=$\frac{1-\frac{1}{3}}{2}$$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{AB}$，
∴PQ：AB=$\frac{1}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了用向量法證明線線平行的應(yīng)用問(wèn)題，是綜合性題目．