Question

17．某人上午7時(shí)乘船出發(fā)，以勻速v海里/小時(shí)（4≤v≤20）從A港前往相距50海里的B地，然后乘汽車(chē)以勻速ω千米/小時(shí)（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，計(jì)劃當(dāng)天下午4到9時(shí)到達(dá)C市．設(shè)乘船和汽車(chē)的所要的時(shí)間分別為x、y小時(shí)，如果所需要的經(jīng)費(fèi)P=100+3（5-x）+（8-y）（單位：元）
（1）試用含有v、ω的代數(shù)式表示P；
（2）要使得所需經(jīng)費(fèi)P最少，求x和y的值，并求出此時(shí)的費(fèi)用．

Answer 1

分析 （1）分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，
（2）求出x，y滿(mǎn)足的約束條件，由約束條件畫(huà)出可行域，要求走得最經(jīng)濟(jì)，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線(xiàn)，分析目標(biāo)函數(shù)p與直線(xiàn)截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)．

解答 解：（1）由題意得：x=$\frac{50}{v}$，4≤v≤20，
y=$\frac{300}{ω}$，30≤ω≤100，
∴P=100+3（5-$\frac{50}{v}$）+（8-$\frac{300}{ω}$）=123-$\frac{150}{v}$-$\frac{300}{ω}$，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，
（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①
由于汽車(chē)、乘船所需的時(shí)間和應(yīng)在9至14小時(shí)之間，∴9≤x+y≤14   ②
因此滿(mǎn)足①②的點(diǎn)（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分
目標(biāo)函數(shù)p=100+3（5-x）+（8-y）=123-3x-y，
當(dāng)x=11，y=3時(shí)，p 最小，
此時(shí)，p=123-33-3=87

點(diǎn)評(píng) 本題考查不等式關(guān)系的建立，考查線(xiàn)性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．