Question

2．若x∈[1，+∞）時，關(guān)于x的不等式$\frac{xlnx}{x+1}$≤λ（x-1）恒成立，則實數(shù)λ的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．

Answer 1

分析 把不等式轉(zhuǎn)化為xlnx-λ（x²-1）≤0，設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-λ（x²-1），從而對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，求出f′（x），對λ分類判斷f′（x）的符號得答案．

解答 解：x∈[1，+∞）時，$\frac{xlnx}{x+1}$≤λ（x-1）?xlnx-λ（x²-1）≤0，
設(shè)函數(shù)f（x）=xlnx-λ（x²-1），從而對任意x∈[1，+∞），不等式f（x）≤0=f（1）恒成立，
又f′（x）=lnx+1-2λx．
①當(dāng)f′（x）=lnx+1-2λx≤0，即$\frac{lnx+1}{x}≤2λ$時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，設(shè)g（x）=$\frac{lnx+1}{x}$，則g′（x）=$\frac{-lnx}{{x}^{2}}≤0$，g（x）_max=g（1）=1，
即1≤2λ，∴$λ≥\frac{1}{2}$，符合題意；
②當(dāng)λ≤0時，f′（x）=lnx+1-2λx≥0恒成立，此時f（x）單調(diào)遞增，于是不等式f（x）≥f（1）=0對任意x∈[1，+∞）恒成立，不符合題意；
③當(dāng)0＜λ＜$\frac{1}{2}$時，設(shè)h（x）=f′（x）=lnx+1-2λx，則h′（x）=$\frac{1}{x}-2λ=0$，可得x=$\frac{1}{2λ}$＞1．
當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，h′（x）=$\frac{1}{x}-2λ$＞0，此時h（x）=f′（x）=lnx+1-2λx單調(diào)遞增，∴f′（x）=lnx+1-2λx＞f′（1）=1-2λ＞0，
故當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，于是，當(dāng)x∈（1，$\frac{1}{2λ}$）時，f（x）＞0恒成立，不符合題意．
綜上所述，實數(shù)λ的取值范圍為[$\frac{1}{2}$，+∞）．
故答案為：[$\frac{1}{2}$，+∞）．

點評 本題考查恒成立問題，訓(xùn)練了分離參數(shù)法，考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，屬難題．