設(shè)函數(shù)f（x）=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
，
（1）求函數(shù)f（x）的定義域；
（2）判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并給出證明；
（3）已知函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x），問(wèn)函數(shù)y=f-1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)嗎？若有，求出交點(diǎn)坐標(biāo)；若無(wú)交點(diǎn)，說(shuō)明理由．
分析：（1）讓分母不為0且真數(shù)大于0求解即可．
（2）把f（x）分成兩個(gè)函數(shù)，分別求單調(diào)性，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可．
（3）利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系，把函數(shù)y=f-1（x）的圖象與x軸有無(wú)交點(diǎn)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為f（x）與y軸的交點(diǎn)問(wèn)題即可．
解答：解：（1）由3x+5≠0且
3-2x
3+2x
＞0，解得x≠-
5
3
且-
3
2
＜x＜
3
2
．取交集得-
3
2
＜x＜
3
2
．
（2）令μ（x）=3x+5，隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)；
3-2x
3+2x
=-1+
6
3+2x
隨著x增大，函數(shù)值減小，所以在定義域內(nèi)是減函數(shù)．
又y=lgx在定義域內(nèi)是增函數(shù)，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，y=lg
3-2x
3+2x
是減函數(shù)，所以f（x）=
2
3x+5
+lg
3-2x
3+2x
是減函數(shù)．
（3）因?yàn)橹苯忧骹（x）的反函數(shù)非常復(fù)雜且不易求出，于是利用函數(shù)與其反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系求解．
設(shè)函數(shù)f（x）的反函數(shù)f-1（x）與x軸的交點(diǎn)為（x0，0）．根據(jù)函數(shù)與反函數(shù)之間定義域與值域的關(guān)系可知，f（x）與y軸的交點(diǎn)是（0，x0），將（0，x0）代入f（x），解得x0=
2
5
．
所以函數(shù)y=f-1（x）的圖象與x軸有交點(diǎn)，交點(diǎn)為（
2
5
，0）．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了函數(shù)的定義域，單調(diào)性和互為反函數(shù)的兩函數(shù)之間的關(guān)系．在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時(shí)，遵循的原則是單調(diào)性相同復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，單調(diào)性相反復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）是定義在R上以3為周期的奇函數(shù)，若f（1）＞1，f（2）=
2a-3
a+1
，則 a的取值范圍是（　　）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2005•湖南）設(shè)函數(shù)f （x）的圖象與直線x=a，x=b及x軸所圍成圖形的面積稱(chēng)為函數(shù)f（x）在[a，b]上的面積，已知函數(shù)y=sinnx在[0，
π
n
]上的面積為
2
n
（n∈N*），
（i）y=sin3x在[0，
2π
3
]上的面積為
4
3
4
3
；
（ii）y=sin（3x-π）+1在[
π
3
，
4π
3
]上的面積為
π+
2
3
π+
2
3
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)函數(shù)f（x）=ax3-2bx2+cx+4d（a、b、c、d∈R）圖象C關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且x=1時(shí)，f（x）取極小值-
23
．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[-2，3]時(shí)，求函數(shù)f（x）的最大值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3-(a-
3
2
)x2+a2x-3ax，a∈R．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間(-
2
3
，-
1
3
)內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2006•朝陽(yáng)區(qū)一模）設(shè)函數(shù)f（x）=ax3+cx（a，c∈R），當(dāng)x=1時(shí)，f（x）取極小值-
2
3
．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）若x1，x2∈[-1，1]時(shí)，求證：|f(x1)-f(x2)|≤
4
3
．

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