Question

【題目】棋盤上標(biāo)有第、、、、站，棋子開始位于第站，棋手拋擲均勻硬幣走跳棋游戲，若擲出正面，棋子向前跳出一站；若擲出反面，棋子向前跳出兩站，直到調(diào)到第站或第站時(shí)，游戲結(jié)束.設(shè)棋子位于第站的概率為.

（1）當(dāng)游戲開始時(shí)，若拋擲均勻硬幣次后，求棋手所走步數(shù)之和的分布列與數(shù)學(xué)期望；

（2）證明：；

（3）求、的值.

Answer 1

【答案】（1）分布列見(jiàn)解析，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；（2）證明見(jiàn)解析；

（3），.

【解析】

（1）根據(jù)題意得出隨機(jī)變量的可能取值有、、、，利用獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率公式計(jì)算出隨機(jī)變量在相應(yīng)取值時(shí)的概率，可列出隨機(jī)變量的分布列，由此計(jì)算出隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，也可以由第站跳站得到，由此得出，并在該等式兩邊同時(shí)減去，可得出所證等式成立；

（3）結(jié)合（1）、（2）可得，利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而可求出和的值.

（1）由題意可知，隨機(jī)變量的可能取值有、、、.

，，

，.

所以，隨機(jī)變量的分布列如下表所示：

所以，隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為；

（2）根據(jù)題意，棋子要到第站，由兩種情況，由第站跳站得到，其概率為 ，也可以由第站跳站得到，其概率為，所以，.

等式兩邊同時(shí)減去得；

（3）由（2）可得，，.

由（2）可知，數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，

，

，

又，則，

由于若跳到第站時(shí)，自動(dòng)停止游戲，故有.