Question

5．長(zhǎng)方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=1，AD=2，AA₁=3，E為線段A₁C上的動(dòng)點(diǎn)，則滿足ED⊥ED₁的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)為（　�。�

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 無數(shù)個(gè)

Answer 1

分析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，利用向量垂直的充要條件，判斷滿足條件的點(diǎn)E的個(gè)數(shù)，進(jìn)而得到答案．

解答 解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間坐標(biāo)系，

則D（0，2，0），D₁（0，2，3），
設(shè)A₁E=λA₁C，（0≤λ≤1），
則由A₁（0，0，3），$\overrightarrow{{A}_{1}C}$=（1，2，-3）得：
$\overrightarrow{AE}$=（λ，2λ，3-3λ），
則$\overrightarrow{ED}$=（-λ，2-2λ，3λ-3），$\overrightarrow{{ED}_{1}}$=（-λ，2-2λ，3λ），
若ED⊥ED₁，則$\overrightarrow{ED}$⊥$\overrightarrow{{ED}_{1}}$，
即λ²+（2-2λ）²+3λ（3λ-3）=0，
即14λ²-17λ+4=0，
解得：λ=$\frac{17±\sqrt{65}}{28}$，
故存在兩個(gè)滿足條件的點(diǎn)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間中直線與直線之間的位置關(guān)系，向量垂直的充要條件，難度中檔．