Question

已知函數(shù)f（x）=x²e^ax，其中a≥0，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值．

Answer 1

解：（Ⅰ）∵f'（x）=x（ax+2）e^ax．
（i）當(dāng)a=0時(shí)，令f'（x）=0，得x=0．
若x＞0，則f'（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若x＜0，則f'（x）＜0，從而f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．
（ii）當(dāng)a＞0時(shí)，令 f′（x）=0，得x（ax+2）=0，故x=0或x=-．
若x＞0，則f'（x）＞0，從而f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
若-＜x＜0，則f′（x）＜0，從而f（x）在（-，0））上單調(diào)遞減；
若 x＜-，則f′（x）＞0，從而f（x）在（-∞，-）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）（i）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值是f（-1）=1．
（ii）當(dāng)-＜-1?0＜a＜2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，0]上遞減，最大值是f（-1）=e^-a．
（iii）當(dāng)-≥-1?a≥2時(shí)，f（x）在區(qū)間[-1，0]上先增后減，最大值是 f（-）=
分析：（Ⅰ）先確定函數(shù)的定義域然后求導(dǎo)數(shù)fˊ（x），討論a，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0即可．
（Ⅱ）欲求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-1，0]上的最大值，先求f（x）在區(qū)間[-1，0]上的單調(diào)性，討論a的值，分別求出最大值．
點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，考查綜合利用數(shù)學(xué)知識(shí)分析問題、解決問題的能力．