Question

2．已知數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n=2a_n-2，n∈N*
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式
（2）若b_n=log₂a_n，求數(shù)列$\{\frac{1}{_{n}_{n+1}}\}$的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）求出數(shù)列的首項，推出數(shù)列是等比數(shù)列，然后求解通項公式．
（2）利用對數(shù)運算化簡數(shù)列，通過裂項法求和求解即可．

解答 解：（1）數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足：S_n=2a_n-2，n∈N*
，當n=1時，解得a₁=2，當n≥2時，S_n-1=2a_n-1-2，可得：a_n=2a_n-2a_n-1，可得a_n=2a_n-1，所以數(shù)列{a_n}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，所以數(shù)列是的通項公式：a_n=2ⁿ．
（2）b_n=log₂a_n=n，
則：$\frac{1}{_{n}_{n+1}}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
數(shù)列$\{\frac{1}{_{n}_{n+1}}\}$的前n項和T_n=$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=1$-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點評 本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式，數(shù)列求和的應用、錯位相減法及裂項相消法對數(shù)列求和，考查學生綜合運用知識解決問題的能力．