Question

18.設(shè)a≥0，f (x)=x－1－ln² x＋2a ln x（x＞0）.

（Ⅰ）令F（x）＝x，討論F（x）在（0,＋∞）內(nèi)的單調(diào)性并求極值；

（Ⅱ）求證：當(dāng)x＞1時，恒有x＞ln²x－2a ln x＋1.

Answer 1

本小題主要考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念與計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和證明不等式的方法，考查綜合運(yùn)用有關(guān)知識解決問題的能力。

（Ⅰ）解：根據(jù)求導(dǎo)法則得，x＞0.

故F(x)=xf′(x)=x-2lnx+2a,x＞0,

于是，x＞0.

列表如下：

x	(0,2)	2	(2,+∞)
F′(x)	-	0	+
F(x)	↘	極小值F(2)	↗

故知F(x)在(0,2)內(nèi)是減函數(shù)，在(2,+∞)內(nèi)是增函數(shù)，所以，在x=2處取得極小值F(2)=2-2ln2+2a.

（Ⅱ）證明：由a≥0知，F(xiàn)(x)的極小值F(2)=2-2ln2+2a＞0.

于是由上表知，對一切，恒有F(x)=xf′(x)＞0.

從而當(dāng)x＞0時，恒有f′(x)＞0，故f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)增加。

所以當(dāng)x＞1時，f(x)＞f(1)=0,即x-1-ln²x+2alnx＞0,

故當(dāng)x＞1時，恒有x＞ln²x-2alnx+1.