Question

已知數(shù)列{a_n}的各項均為正整數(shù)，S_n為其前n項和，對于n=1，2，3，…，有a_n+1=

3an+5，an為奇數(shù) an 2k ，其中k是使an+1為奇數(shù)的正整數(shù)，an為偶數(shù)

（Ⅰ）當(dāng)a₃=5時，a₁的最小值為

5

；
（Ⅱ）當(dāng)a₁=1時，S₁+S₂+…+S₁₀=

230

．

Answer 1

分析：（I）利用定義可得a2=5•2k，對k討論即可得出；
（II）當(dāng)a₁=1時，a₂=3×a₁+5=8，a3=

a2

2k

=

8

2k

，當(dāng)k=1時，a₃=4不滿足條件；當(dāng)k=2時，a₃=2不滿足條件；當(dāng)k=3時，a₃=1滿足條件．
依此類推可得其周期性即可得出．

解答：解：（I）a₃=5時，a₂不可能為奇數(shù)，否則，由5=3a₂+5，得出a₂=0矛盾，∴a₂必為偶數(shù)．
∴5=a3=

a2

2k

，得a2=5•2k，
①當(dāng)k取最小正整數(shù)1時，a₂=10為偶數(shù)．a(chǎn)₁只能為奇數(shù)，則10=a₂=3a₁+5，無解．
②當(dāng)k取正整數(shù)2時，a₂=20為偶數(shù)．a(chǎn)₁只能為奇數(shù)，則20=a₂=3a₁+5，a₁=5．
因此a₁的最小值為5．
（II）當(dāng)a₁=1時，a₂=3×a₁+5=8，a3=

a2

2k

=

8

2k

，當(dāng)k=1時，a₃=4不滿足條件；當(dāng)k=2時，a₃=2不滿足條件；當(dāng)k=3時，a₃=1滿足條件．
依此類推可得：a₄=a₆=a₈=a₁₀=a₂=8，a₃=a₅=a₇=a₉=a₁=1．
∴S₁+S₂+…+S₁₀=10a₁+9a₂+8a₃+…+2a₉+a₁₀
=30a₁+25a₂
=30×1+25×8
=230．
故答案分別5，230．

點評：正確理解定義和分類討論及得出其周期性是解題的關(guān)鍵．