Question

如圖，在底面是矩形的四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，BC=4．E是PD的中點，
（1）求二面角E-AC-D的余弦值；
（2）求直線CD與平面AEC所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出各頂點的坐標(biāo)后，再求出平面EAC和平面ACD的法向量，代入向量夾角公式即可求出二面角E-AC-D的余弦值；
（2）由（1）的結(jié)論，我們進(jìn)一步求出平面AEC的法向量及直線CD的方向向量，代入向量夾角公式，即可得到直線CD與平面AEC所成角的正弦值．

解答：解：以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，AP所在直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），
E（0，2，1），P（0，0，2）．
∴

AB

=（2，0，0），

AD

=（0，4，0），

AP

=（0，0，2），

CD

=（-2，0，0），

AE

=（0，2，1），

AC

=（2，4，0）．

（1）設(shè)平面AEC的法向量

n

=（x，y，z），令z=1，則

n

=（x，y，1）．
由

n • AE =0 n • AC =0

即

2y+1=0 2x+4y=0

，解得

x=1 Y=- 1 2

∴

n

=（1，-

1

2

，1）．
平面ABC的法向量

AP

=（0，0，2）．
cos＜

n

，

AP＞

=

n • AP

| n |•| AP |

=

2

3 2 ×2

=

2

3

．
所以二面角E-AC-D所成平面角的余弦值是

2

3

．
（2）因為平面ABC的法向量是

n

=（1，-

1

2

，1），而

CD

=（-2，0，0）．
所以cosθ=

n • CD

| n |•| CD |

=

-2

3 2 ×2

=-

2

3

．
直線CD與平面AEC的正弦值

2

3

．

點評：本題考查的知識點是利用空間向量求平面間的夾角，用空間向量求直線與平面的夾角，其中建立坐標(biāo)系，將二面角及線面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關(guān)鍵．