Question

【題目】已知函數(shù)f(x)＝(2x－4)ex＋a(x＋2)2(x>0，a∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù))．
（1）若f(x)是(0，＋∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）當a∈ 時，證明：函數(shù)f(x)有最小值，并求函數(shù)f(x)的最小值的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′(x)＝2ex＋(2x－4)ex＋2a(x＋2)＝(2x－2)ex＋2a(x＋2)，依題意，當x>0時，函數(shù)f′(x)≥0恒成立，即a≥－ 恒成立，記g(x)＝－ ，則g′(x)＝－ ＝－ <0，所以g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減，所以g(x)<g(0)＝ ，所以a≥ .
故a的取值范圍為 .

（2）解：因為[f′(x)]′＝2xex＋2a>0，所以y＝f′(x)是(0，＋∞)上的增函數(shù)，又f′(0)＝4a－2<0，f′(1)＝6a>0，所以存在t∈(0,1)使得f′(t)＝0，
又當x∈(0，t)時，f′(x)<0，當x∈(t，＋∞)時，f′(x)>0，
所以當x＝t時，f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et＋a(t＋2)2.且有f′(t)＝0a＝－ ，
則f(x)min＝f(t)＝(2t－4)et－(t－1)(t＋2)et＝et(－t2＋t－2)，t∈(0,1)．
記h(t)＝et(－t2＋t－2)，則h′(t)＝et(－t2＋t－2)＋et(－2t＋1)＝et(－t2－t－1)<0，
所以h(1)<h(t)<h(0)，
即f(x)的最小值的取值范圍是(－2e，－2)．
【解析】(1)首先求出原函數(shù)的導函數(shù)，再根據(jù)導函數(shù)的正負情況即可得出原函數(shù)的增減性，利用增減性的定義即可求出a的值。(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f(x) 的最小值，從而求出最小值的取值范圍。