Question

13．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），短軸長2，兩焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₁的直線交橢圓C于M，N兩點，且△F₂MN的周長為8．
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線l與橢圓C相交于A，B點，點D為橢圓C上一點，四邊形AOBD為矩形，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：2b=2，4a=8，解得b，a．可得橢圓C的方程．
（2）由題意可設直線l的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，△＞0．由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．利用根與系數(shù)的關系化為：m²=4k²．設線段AB的中點G（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$，y₀．可得D坐標代入橢圓方程解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：2b=2，4a=8，解得b=1，a=2．
∴橢圓C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
（2）由題意可設直線l的方程為：y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{{x}^{2}+4{y}^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+4k²）x²+8km+4m²-4=0，△＞0．
∴x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$．
∵OA⊥OB，∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=0，即x₁x₂+（kx₁+m）（kx₂+m）=0，化為：k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=0．
∴k²×$\frac{4{m}^{2}-4}{1+4{k}^{2}}$+km×$\frac{-8km}{1+4{k}^{2}}$+m²=0．
化為：m²=4k²．
設線段AB的中點G（x₀，y₀），則x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-4km}{1+4{k}^{2}}$，y₀=$\frac{-4{k}^{2}m}{1+4{k}^{2}}$+m=$\frac{m}{1+4{k}^{2}}$．
∴D$（-\frac{8km}{1+4{k}^{2}}，\frac{2m}{1+4{k}^{2}}）$，代入橢圓方程可得：$\frac{64{k}^{2}{m}^{2}}{（1+4{k}^{2}）^{2}}$+4×$（\frac{2m}{1+4{k}^{2}}）^{2}$=4，
化為：16k²m²+4m²=1+8k²+16k⁴，
把m²=4k²代入上述方程可得：3m⁴+2m²-1=0．
解得m=$±\frac{\sqrt{3}}{3}$，解得k=$±\frac{\sqrt{3}}{6}$．
∴直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{6}$x$±\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質、直線與橢圓相交問題、中點坐標公式、一元二次方程的根與系數(shù)的關系、矩形的性質、向量垂直與數(shù)量積的關系，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．