Question

4．若關(guān)于x的不等式m＜$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$有且僅有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為（　�。�

• A． $（\frac{1}{2e-1}，1）$
• B． $（\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$
• C． $[\frac{1}{2e-1}，1）$
• D． $[\frac{e^2}{{2{e^2}-1}}，1）$

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)f（x）=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，在根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象得到不等式關(guān)系進(jìn)行求解即可

解答 解：令f（x）=$\frac{e^x}{{x{e^x}-x+1}}$，f′（x）=$\frac{{e}^{x}（2-x-{e}^{x}）}{（x{e}^{x}-x+1）^{2}}$，
令f′（x）=0⇒2-x-e^x=0，令g（x）=2-x-e^x，g′（x）=-1-e^x＜0，恒成立，所以g（x）單調(diào)遞減，由因?yàn)間（0）＞0，g（1）＜0
所以存在x₀∈（0，1）使f′（x₀）=0，∴x∈（-∞，x₀），f（x）遞增，x∈（，x_0，^+∞），f（x）遞減，
若m＜f（x）解集中的整數(shù)恰為2個(gè)，
則x=0，1是解集中的2個(gè)整數(shù)，
故只需$\left\{\begin{array}{l}{m＜f（0）=1}\\{m＜f（1）=1}\\{m≥f（2）=\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}}\\{m≥f（-1）=\frac{1}{2e-1}}\end{array}\right.$⇒$\frac{{e}^{2}}{2{e}^{2}-1}≤m＜1$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，根據(jù)不等式整數(shù)根的個(gè)數(shù)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，有一定的難度．